Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Matematik Isnin: Hubungan, Bahagian 8: Dalam Mencari Kehidupan

Untuk Muzium Matematik

Math Monday terus meneruskan pengembaraan berbilang minggu ke dalam rangkaian hubungan yang indah. Lihat pengenalan siri Sambungan untuk MoMath Linkage Kit, pengenalan, dan arahan am.

Dalam lajur kedua dalam siri ini, kami menyaksikan kerumitan yang luar biasa yang dapat menghasilkan empat bar hubungan mudah: ia akan, secara umum, melukiskan jalan yang dijelaskan oleh polinomial darjah keenam dalam x dan y. Tetapi bagaimana dengan fungsi yang lebih mudah, mungkin lebih mudah? Bolehkah hubungan menghubungkan laluan linear dalam x dan y? Ia seolah-olah menjadi alasan, memandangkan kelenturan yang sangat besar. Dan persoalan ini, jauh dari yang hanya akademik, adalah sangat penting praktikal - untuk tidak lain daripada James Watt. Seperti yang anda ingat, dia terlibat dalam usaha untuk membina enjin wap. Dan komponen penting bagi mana-mana enjin wap adalah omboh. Dan untuk menuai tenaga pengembangan stim, kepala piston mesti ditutup rapat dengan ketat, untuk memaksa uap untuk menggerakkan kepala, bukan hanya melarikan diri. Dan untuk memastikan kepala piston itu ketat mungkin, bagaimana rod rod itu bergerak? Tepat dalam garis lurus di sepanjang paksi omboh. Di sisi lain, seseorang mahu mengambil gerak belakang itu dan menghidupkan gandar dengannya. Oleh itu, terdapat keperluan asas praktikal untuk menukar usul linear kepada gerakan berputar. Inilah gagasan bahawa Watt muncul, yang mana ia digambarkan sebagai "salah satu daripada mekanik mudah yang paling cerdas yang saya cipta." - dan mungkin sewajarnya, sejak sebelum Watt, penukaran dari linear kepada gerakan berputar hanya dapat dilakukan dengan rantaian. Oleh kerana rantaian hanya boleh ditarik, tidak ditekan, batasan itu bermakna bahawa satu arah setiap strok membazirkan kuasa.

Bahan Berkaitan Watt: 34 bar dengan tiada lubang lain (A), dua 24 bar (B dan D), dan satu 34 bar dengan lubang pada 17; empat penyambung, dan pen.

Arah: Pautan A hingga B hingga C0; pautan C34 ke D dan salib C over D kerana anda menghubungkan D kembali ke A. Masukkan pen dalam C17.

Untuk menggunakan: Anchor A, dan putar B dan / atau D untuk melukis lengkung mencari lapan angka dengan pen. Pastikan flip setiap sendi dengan cara seperti memimpin A dan C ke arah satu sama lain, setiap kali anda mencapai titik mati.

Inilah linkage yang dibina dan jalan pintas melalui lukisan:

Dan inilah keluk yang lengkap:

Sebenarnya, lengkung anggun ini telah ditemui oleh matematikawan Jacob Bernoulli hampir seratus tahun yang lalu, yang menyebutnya "lemniscate". Dia melihatnya sebagai sejenis variasi pada elips, di mana produk dari jarak titik dari dua mata tetap tetap malar, dan bukannya jumlah mereka. Kerana sifat produk itu, jalan ini untuk hubungan empat bar digambarkan oleh polinomial darjah keempat, jauh lebih mudah daripada gelaran keenam biasa. Menariknya, kajian kekurangan Bernoulli di kemudian hari oleh Euler membawa perkembangan penting kepada bidang penting matematik moden.

Tetapi apakah yang dapat dilakukan dengan lengkung elegan ini dengan masalah Watt? Kuncinya terletak pada satu lengkung lekuk kanan berhampiran pusat, di mana ia melintasi bar tetap. The lemniscate sangat hampir lurus melalui bahagian itu. Watt diselaraskan nisbah panjang ke lebar hubungan ini untuk meningkatkan panjang bahagian itu supaya seluruh gerak piston keseluruhan dan belakang akan terletak di dalam kawasan yang hampir lurus, dan diubah suai untuk mendapatkan kawasan itu daripada cara bar yang tetap, dan dengan itu dapat mencipta enjin stim pertama yang menyampaikan kuasa pada kedua-dua serangannya dan tekanannya.

Walau bagaimanapun, juga kerana sifat produk, tiada bahagian lemniscate tepat lurus, hanya sangat dekat. Adakah terdapat kaitan empat bar yang menghasilkan gerakan tepat? Atau apa-apa hubungan sama sekali? Ini berubah menjadi misteri matematik penting yang bertahan selama bertahun-tahun, yang akan kita periksa dalam ansuran yang akan datang. Sementara itu, cuba tangan anda: bolehkah anda membuat hubungan dari Kit MoMath Linkage yang menarik garis yang betul-betul lurus? (Hanya jika anda mahu menafikan kegembiraan penjelajahan sekiranya anda mencari web untuk mengetahui sama ada mungkin ...)

Lebih banyak:

  • Hubungan, Pengenalan
  • Hubungan, Bahagian 2: Empat Bar, Satu Kebebasan
  • Kaitan, Bahagian 3: Empat Bar, Dua atau Tiga Jawatan
  • Kaitan, Bahagian 4: Empat Bar, Empat Jawatan
  • Kaitan, Bahagian 5: Empat Bar, Jawatan Lebih?
  • Kaitan, Bahagian 6: Biomimikri
  • Hubungan, Bahagian 7: Dunia "B.X."
  • Lihat semua medan Hari Matematik kami

Kongsi

Meninggalkan Komen