Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Math Monday: A Base Beyond

Satu laluan ke penemuan matematik terdiri daripada mengubah ciri atau parameter sesuatu yang difahami dengan baik, untuk melihat apa yang berlaku apabila ia berbeza-beza. Sebagai contoh, kami memasukkan perangkap dalam kaunter binari kami, dan perangkap itu membenarkan pelarasan bilangan kelereng yang mereka akan simpan sebelum mencetuskan. Melaraskan kapasiti perangkap menyebabkan struktur matematik baru - sistem bilangan ternari.

Dalam sebenarnya membina mesin yang diubah, kami memperkenalkan komponen baru, melarikan diri. Jadi sekarang kita berada dalam kedudukan untuk bertanya: kenapa kita membatasi diri hanya dengan membawa satu bola? Malah, James Tanton dan Projek Matematik Global yang dianjurkannya, meminta orang ramai di seluruh dunia bulan ini: apa yang mungkin berlaku jika kita membawa dua bola setiap kali salah satu nilai tempat kami melimpah? (Perhatikan bahawa Jim Propp, yang akan kita dengar lebih banyak tentang di bawah ini, mencadangkan soalan ini kepada Tanton pada tahun 1990-an.) Pengubahsuaian yang sangat mudah kepada kaunter / penambah ternary kami secara fizikal akan menerangi soalan itu.

Iaitu, yang perlu kita lakukan ialah mengubah setiap pelarian sehingga memegang dua bola, bukannya satu. Dengan cara itu, apabila perangkap yang berkaitan mencetuskan, ia akan melepaskan dua bola ke perangkap seterusnya. Dan perubahan yang diperlukan untuk melarikan diri adalah hampir sepele: hanya bergerak hentikan supaya ada ruang untuk tepat dua bola di lengan pelarian, seperti yang anda dapat lihat dalam pukulan ini (perhatikan bahawa tab telah dipindahkan sementara untuk membolehkan akses hingga berhenti).

Kecuali untuk mengulangi pelarian sehingga mereka hampir seimbang apabila mereka memegang dua bola, itu semua yang perlu dilakukan. Jadi inilah gambar mesin mengira yang telah diubahsuai sepenuhnya, dengan semua repositori membawa marmar yang ditebar.

Ia kelihatan hampir sama dengan kaunter ternary (anda hanya boleh membuat kenyataan bahawa terdapat dua kelereng di dalam pelarian), tetapi ia akan berkelakuan agak berbeza. Mari kita lihat dalam tindakan.

Apa sebenarnya yang berlaku di sini? Jelas sekali mesin itu, dalam beberapa segi, mengira. Ia memasuki keadaan yang berbeza dengan setiap bola ditambah, dari segi berapa banyak guli ada di setiap perangkap. Dan tidak ada yang mengulangi negeri (sekurang-kurangnya sebelum mesin melimpah pada marmar ke-24 ditambah), maka kami memperoleh representasi yang berlainan bagi setiap integer bukannegatif. Jika anda memainkan semula video dan menjejaki, anda boleh menghasilkan jadual perwakilan berikut:

Nombor Negeri Nombor Negeri
0 0 12 2120
1 1 13 2121
2 2 14 2122
3 20 15 21010
4 21 16 21011
5 22 17 21012
6 210 18 21200
7 211 19 21201
8 212 20 21202
9 2100 21 21220
10 2101 22 21221
11 2102 23 21222

Bagaimanakah kita boleh memahami sistem angka baru ini? Nah, apakah yang membuat satu bola dalam perangkap kedua di kaunter ternari kami mewakili tiga? Ia adalah hakikat bahawa untuk setiap tiga bola yang masuk ke dalam perangkap pertama, satu bola telah ditambahkan ke perangkap kedua. Sejak sekarang dua bola sedang ditambahkan ke perangkap kedua apabila ini berlaku, nampaknya mungkin bola di perangkap kedua hanya bernilai separuh seperti di kaunter ternary. Dalam erti kata lain, adakah bola dalam perangkap kedua mewakili 3/2, atau satu setengah?

Sesungguhnya, jika anda melihat representasi di atas, anda dapat melihat contohnya bahawa negeri bersamaan dengan 4 adalah "21". Jika kita mentafsirkan bahawa sebagai 2 × (3/2) + 1, ia keluar dengan betul kepada 4!

Jadi, apa yang harus diwakili marmar dalam perangkap ketiga? Nah, tiga daripada kelereng yang bernilai 3/2 setiap satu, atau 9/2 dalam semua, akan melepaskan dua kelereng ke dalam perangkap ketiga, jadi mereka sepatutnya bernilai setengah dari 9/2, atau 9/4. Sekali lagi, ini berfungsi dengan perwakilan di atas: 7 adalah sama dengan 2 × (9/4) + 1 × (3/2) + 1.

Dan perhatikan, bukan secara kebetulan, bahawa 9/4 adalah persegi 3/2. Anda boleh mengesahkan dengan cara yang sama bahawa guli dalam perangkap keempat bernilai kiub 3/2, atau 27/8. Kelereng di perangkap kelima (mesin basuh utama dalam mesin ini) bernilai kuasa keempat sebanyak 3/2, atau 81/16. Sekali lagi, sebagai contoh, 23 = 2 × (81/16) + (27/8) + 2 × (9/4) + 2 × (3/2) + 2.

Dengan kata lain, mesin ini mengira dalam asas 3/2. Pelik - ia mungkin tidak sepatutnya mempunyai asas pecahan. Lagipun, tidak semua angka yang mungkin dalam asas 3/2 mewakili nombor keseluruhan. Sebagai contoh, "11" dalam sistem ini bermakna dua setengah, jadi kami tidak akan dapat menghitungnya. Tetapi kewujudan mesin ini membuktikan, pada dasarnya, terdapat angka bagi setiap nombor keseluruhan (anda boleh bayangkan menambah lebih banyak lapisan pelarian dan perangkap untuk mengendalikan nombor yang lebih tinggi.)

Sebagai nasib akan ada, terdapat akar sesqui latin yang bermaksud "satu setengah"; lihat kata "sesquicentennial," sebagai contoh. Oleh itu, memperluaskan kerja kami ke mesin pengiraan / menambah binary dan ternary, kami telah menemukan sistem nombor sesquiner.

Dengan berbuat demikian, kita telah tersandung di tepi beberapa matematik yang sangat menarik dan mendalam. Perhatikan, contohnya, bermula dengan angka tiga, setiap nombor sesquiner bermula dengan digit 2. Dan setiap angka dari enam pada bermula dengan digit 21. Adakah tiga digit pertama yang pernah menstabilkan dengan cara ini, atau tidak? Apa yang anda perasan mengenai urutan digit di tempat yang paling tepat seperti yang anda kira? Di tempat kedua? Tempat lain? Perhatikan bahawa tiga digit terakhir setiap angka ini berbeza; dalam erti kata lain, anda boleh mengenali integer positif nombor sesquari kurang daripada atau sama dengan 21222 mewakili hanya dari tiga angka terakhirnya, walaupun angka sebenar mempunyai lebih daripada tiga digit. Berapa lamakah yang terakhir? Adakah terdapat fenomena yang sama dengan empat digit terakhir?

Terdapat banyak corak untuk notis dan soalan untuk bertanya tentang sistem nombor ini; anda boleh menemui banyak lagi bahawa James Tanton mencadangkan di Bahagian 9 kursusnya pada "Exploding Dots," atau temukan sendiri. (Jika anda membaca kursus itu, anda boleh menafsirkan apa yang telah kami lakukan selama empat minggu yang lalu sebagai membina realisasi fizikal mesin titik meletup yang menggunakan Tanton sebagai percubaan pemikiran.) Tetapi kerana ini adalah lajur tentang membuat mesin matematik sebenar, Saya akan menutup dengan lebih sedikit di kaunter sesquinary.

Anda mungkin tertanya-tanya apakah perkara itu penting untuk memerintahkan pencetus perangkap dalam mesin ini atau apabila guli ditambah, supaya ia dikira dengan betul. Ternyata, jika tidak ada kerusakan, itu tidak; anda boleh membuat alasan kenapa jika anda merenung sedikit, atau periksa Enchantments Jim Propp untuk lebih lanjut mengenai topik ini. Walau bagaimanapun, untuk menunjukkan secara fizikal ini, mari melepaskan 13 kelereng serentak ke dalam perangkap teratas, dan lihat apa yang berlaku:

Voila, ia menetap ke negeri 2121 - perwakilan sesquinine 13 - sama seperti ketika kita menambahkan satu gila pada satu waktu. Perhatikan bahawa untuk membuat kerja ini, saya perlu menambah tab pada perangkap pertama juga, untuk mengelakkan marmar tambahan dari menyelinap melalui ketika perangkap itu membuang tiga kelereng. Sebenarnya, kerana mesin memindahkan dua kelereng ke perangkap seterusnya setiap kali ia membawa, dan perangkap itu mungkin sudah mempunyai dua guli di dalamnya, seluruh mesin akan berfungsi dengan lebih baik jika semua perangkap mempunyai tab pada mereka, menjadikannya dalam esensi ketegangan tiga marmar juga.

Walau bagaimanapun, itu sahaja untuk siri ini mengenai mesin marmar matematik. Jika anda membina mesin marmar anda sendiri, atau cari corak baru dalam nombor sesquiner, maklumkan saya tentangnya di [email dilindungi] Sebagai tembakan perpisahan, inilah gambar mesin penambah sesquisi berskala besar yang saya bina untuk ceramah yang Jim Propp memberikan pada persidangan MOVES yang terakhir, dan yang Propp menggelar SESQUIAC:

Kongsi

Meninggalkan Komen